Rozważać będziemy problem Cauchy'ego dla równań półliniowych z operatorami różniczkowo-całkowymi typu Levy'ego, które można traktować jako operatory pseudoróżniczkowe wyznaczone przez ich symbol. Podamy twierdzenia o stabilności, które nieściśle mówiąc stwierdzają, że jeżeli te symbole zbiegaja do siebie w odpowiednim (naturalnym) sensie, to odpowiednie rozwiązania równań (renormalizowane lub słabe) też do siebie zbiegają. Dowody oparte są na probabilistycznej reprezentacji rozwiązań oraz twierdzeniach o zbieżności dla równań stochastycznych i równań stochastycznych wstecz. Wyniki pochodzą z wspólnej pracy z L. Słomińskim dostępnej w arXiv.